Sto cercando di trovare un modo elegante per gestire alcuni polinomi generati. Ecco la situazione su cui ci concentreremo (in esclusiva) per questa domanda:
Poiché questo particolare esempio di codice genera x_1 .. x_n, spiegherò come vengono trovati nel codice. I punti sono equamente distanziati x_j = j * elementSize / order
apart, dove n = order + 1
.
Func<double, double>
un Func<double, double>
per valutare questo polinomio¹.
private static Func<double, double> GeneratePsi(double elementSize, int order, int i)
{
if (order < 1)
throw new ArgumentOutOfRangeException("order", "order must be greater than 0.");
if (i < 0)
throw new ArgumentOutOfRangeException("i", "i cannot be less than zero.");
if (i > order)
throw new ArgumentException("i", "i cannot be greater than order");
ParameterExpression xp = Expression.Parameter(typeof(double), "x");
// generate the terms of the factored polynomial in form (x_j - x)
List<Expression> factors = new List<Expression>();
for (int j = 0; j <= order; j++)
{
if (j == i)
continue;
double p = j * elementSize / order;
factors.Add(Expression.Subtract(Expression.Constant(p), xp));
}
// evaluate the result at the point x_i to get scaleInv=1.0/scale.
double xi = i * elementSize / order;
double scaleInv = Enumerable.Range(0, order + 1).Aggregate(0.0, (product, j) => product * (j == i ? 1.0 : (j * elementSize / order - xi)));
/* generate an expression to evaluate
* (x_0 - x) * (x_1 - x) .. (x_n - x) / (x_i - x)
* obviously the term (x_i - x) is cancelled in this result, but included here to make the result clear
*/
Expression expr = factors.Skip(1).Aggregate(factors[0], Expression.Multiply);
// multiplying by scale forces the condition f(x_i)=1
expr = Expression.Multiply(Expression.Constant(1.0 / scaleInv), expr);
Expression<Func<double, double>> lambdaMethod = Expression.Lambda<Func<double, double>>(expr, xp);
return lambdaMethod.Compile();
}
Il problema: ho anche bisogno di valutare Ï ² = dÏ / dx. Per fare ciò, posso riscrivere Ï = scaleÃ- (x_0 - x) (x_1 - x) à - .. Ã- (x_n - x) / (x_i - x) nella forma Ï = α ± _nÃ-x ^ n + Î ± _nÃ-x ^ (n-1) + .. + α ± _1Ã-x + α ± _0. Questo dà Ï â € œ nÃ-α ± _nÃ-x ^ (n-1) + (n-1) Ã-α ± _n-x ^ (n-2) + .. + 1Ã-α ± _1.
Per ragioni computazionali, possiamo riscrivere la risposta finale senza chiamate a Math.Pow
scrivendo Ïâ² ² = xÃ- (xÃ- (xÃ- (..) - β_2) - β_1) - β_0.
Per fare tutto questo "inganno" (tutta algebra di base), ho bisogno di un modo pulito per:
Expression
fattorizzata contenente le Expression
ConstantExpression
e ParameterExpression
e le operazioni matematiche di base (termina BinaryExpression
con il NodeType
impostato sull'operazione) - il risultato qui può includere elementi InvocationExpression
in MethodInfo
per Math.Pow
che gestiremo in modo speciale per tutto. ParameterExpression
specificati. I termini nel risultato in cui il parametro del lato destro di un'invocazione di Math.Pow
era la costante 2 sono sostituiti da ConstantExpression(2)
moltiplicato per quello che era il lato sinistro (l'invocazione di Math.Pow(x,1)
è rimosso). I termini nel risultato che diventano zero perché erano costanti rispetto a x vengono rimossi. ParameterExpression
specifici in cui si verificano come il parametro sul lato sinistro di un'invocazione di Math.Pow
. Quando il lato destro dell'invocazione diventa un'espressione ConstantExpression
con il valore 1
, sostituiamo l'invocazione con solo ParameterExpression
. ¹ In futuro, mi piacerebbe che il metodo eseguisse ParameterExpression
e restituisse Expression
che valuta in base a quel parametro. In questo modo posso aggregare le funzioni generate. Non sono ancora arrivato. ² In futuro, spero di pubblicare una libreria generale per lavorare con LINQ Expressions come matematica simbolica.
Ho scritto le basi di diverse funzioni matematiche simboliche utilizzando il tipo ExpressionVisitor in .NET 4. Non è perfetto, ma sembra il fondamento di una soluzione praticabile.
Symbolic
è una classe statica pubblica che espone metodi come Expand
, Simplify
e PartialDerivative
ExpandVisitor
è un tipo di helper interno che espande le espressioni SimplifyVisitor
è un tipo di helper interno che semplifica le espressioni DerivativeVisitor
è un tipo di helper interno che prende la derivata di un'espressione ListPrintVisitor
è un tipo di helper interno che converte Expression
in una notazione di prefisso con una sintassi Lisp Symbolic
public static class Symbolic
{
public static Expression Expand(Expression expression)
{
return new ExpandVisitor().Visit(expression);
}
public static Expression Simplify(Expression expression)
{
return new SimplifyVisitor().Visit(expression);
}
public static Expression PartialDerivative(Expression expression, ParameterExpression parameter)
{
bool totalDerivative = false;
return new DerivativeVisitor(parameter, totalDerivative).Visit(expression);
}
public static string ToString(Expression expression)
{
ConstantExpression result = (ConstantExpression)new ListPrintVisitor().Visit(expression);
return result.Value.ToString();
}
}
ExpandVisitor
internal class ExpandVisitor : ExpressionVisitor
{
protected override Expression VisitBinary(BinaryExpression node)
{
var left = Visit(node.Left);
var right = Visit(node.Right);
if (node.NodeType == ExpressionType.Multiply)
{
Expression[] leftNodes = GetAddedNodes(left).ToArray();
Expression[] rightNodes = GetAddedNodes(right).ToArray();
var result =
leftNodes
.SelectMany(x => rightNodes.Select(y => Expression.Multiply(x, y)))
.Aggregate((sum, term) => Expression.Add(sum, term));
return result;
}
if (node.Left == left && node.Right == right)
return node;
return Expression.MakeBinary(node.NodeType, left, right, node.IsLiftedToNull, node.Method, node.Conversion);
}
/// <summary>
/// Treats the <paramref name="node"/> as the sum (or difference) of one or more child nodes and returns the
/// the individual addends in the sum.
/// </summary>
private static IEnumerable<Expression> GetAddedNodes(Expression node)
{
BinaryExpression binary = node as BinaryExpression;
if (binary != null)
{
switch (binary.NodeType)
{
case ExpressionType.Add:
foreach (var n in GetAddedNodes(binary.Left))
yield return n;
foreach (var n in GetAddedNodes(binary.Right))
yield return n;
yield break;
case ExpressionType.Subtract:
foreach (var n in GetAddedNodes(binary.Left))
yield return n;
foreach (var n in GetAddedNodes(binary.Right))
yield return Expression.Negate(n);
yield break;
default:
break;
}
}
yield return node;
}
}
DerivativeVisitor
internal class DerivativeVisitor : ExpressionVisitor
{
private ParameterExpression _parameter;
private bool _totalDerivative;
public DerivativeVisitor(ParameterExpression parameter, bool totalDerivative)
{
if (_totalDerivative)
throw new NotImplementedException();
_parameter = parameter;
_totalDerivative = totalDerivative;
}
protected override Expression VisitBinary(BinaryExpression node)
{
switch (node.NodeType)
{
case ExpressionType.Add:
case ExpressionType.Subtract:
return Expression.MakeBinary(node.NodeType, Visit(node.Left), Visit(node.Right));
case ExpressionType.Multiply:
return Expression.Add(Expression.Multiply(node.Left, Visit(node.Right)), Expression.Multiply(Visit(node.Left), node.Right));
case ExpressionType.Divide:
return Expression.Divide(Expression.Subtract(Expression.Multiply(Visit(node.Left), node.Right), Expression.Multiply(node.Left, Visit(node.Right))), Expression.Power(node.Right, Expression.Constant(2)));
case ExpressionType.Power:
if (node.Right is ConstantExpression)
{
return Expression.Multiply(node.Right, Expression.Multiply(Visit(node.Left), Expression.Subtract(node.Right, Expression.Constant(1))));
}
else if (node.Left is ConstantExpression)
{
return Expression.Multiply(node, MathExpressions.Log(node.Left));
}
else
{
return Expression.Multiply(node, Expression.Add(
Expression.Multiply(Visit(node.Left), Expression.Divide(node.Right, node.Left)),
Expression.Multiply(Visit(node.Right), MathExpressions.Log(node.Left))
));
}
default:
throw new NotImplementedException();
}
}
protected override Expression VisitConstant(ConstantExpression node)
{
return MathExpressions.Zero;
}
protected override Expression VisitInvocation(InvocationExpression node)
{
MemberExpression memberExpression = node.Expression as MemberExpression;
if (memberExpression != null)
{
var member = memberExpression.Member;
if (member.DeclaringType != typeof(Math))
throw new NotImplementedException();
switch (member.Name)
{
case "Log":
return Expression.Divide(Visit(node.Expression), node.Expression);
case "Log10":
return Expression.Divide(Visit(node.Expression), Expression.Multiply(Expression.Constant(Math.Log(10)), node.Expression));
case "Exp":
case "Sin":
case "Cos":
default:
throw new NotImplementedException();
}
}
throw new NotImplementedException();
}
protected override Expression VisitParameter(ParameterExpression node)
{
if (node == _parameter)
return MathExpressions.One;
return MathExpressions.Zero;
}
}
SimplifyVisitor
internal class SimplifyVisitor : ExpressionVisitor
{
protected override Expression VisitBinary(BinaryExpression node)
{
var left = Visit(node.Left);
var right = Visit(node.Right);
ConstantExpression leftConstant = left as ConstantExpression;
ConstantExpression rightConstant = right as ConstantExpression;
if (leftConstant != null && rightConstant != null
&& (leftConstant.Value is double) && (rightConstant.Value is double))
{
double leftValue = (double)leftConstant.Value;
double rightValue = (double)rightConstant.Value;
switch (node.NodeType)
{
case ExpressionType.Add:
return Expression.Constant(leftValue + rightValue);
case ExpressionType.Subtract:
return Expression.Constant(leftValue - rightValue);
case ExpressionType.Multiply:
return Expression.Constant(leftValue * rightValue);
case ExpressionType.Divide:
return Expression.Constant(leftValue / rightValue);
default:
throw new NotImplementedException();
}
}
switch (node.NodeType)
{
case ExpressionType.Add:
if (IsZero(left))
return right;
if (IsZero(right))
return left;
break;
case ExpressionType.Subtract:
if (IsZero(left))
return Expression.Negate(right);
if (IsZero(right))
return left;
break;
case ExpressionType.Multiply:
if (IsZero(left) || IsZero(right))
return MathExpressions.Zero;
if (IsOne(left))
return right;
if (IsOne(right))
return left;
break;
case ExpressionType.Divide:
if (IsZero(right))
throw new DivideByZeroException();
if (IsZero(left))
return MathExpressions.Zero;
if (IsOne(right))
return left;
break;
default:
throw new NotImplementedException();
}
return Expression.MakeBinary(node.NodeType, left, right);
}
protected override Expression VisitUnary(UnaryExpression node)
{
var operand = Visit(node.Operand);
ConstantExpression operandConstant = operand as ConstantExpression;
if (operandConstant != null && (operandConstant.Value is double))
{
double operandValue = (double)operandConstant.Value;
switch (node.NodeType)
{
case ExpressionType.Negate:
if (operandValue == 0.0)
return MathExpressions.Zero;
return Expression.Constant(-operandValue);
default:
throw new NotImplementedException();
}
}
switch (node.NodeType)
{
case ExpressionType.Negate:
if (operand.NodeType == ExpressionType.Negate)
{
return ((UnaryExpression)operand).Operand;
}
break;
default:
throw new NotImplementedException();
}
return Expression.MakeUnary(node.NodeType, operand, node.Type);
}
private static bool IsZero(Expression expression)
{
ConstantExpression constant = expression as ConstantExpression;
if (constant != null)
{
if (constant.Value.Equals(0.0))
return true;
}
return false;
}
private static bool IsOne(Expression expression)
{
ConstantExpression constant = expression as ConstantExpression;
if (constant != null)
{
if (constant.Value.Equals(1.0))
return true;
}
return false;
}
}
ListPrintVisitor
internal class ListPrintVisitor : ExpressionVisitor
{
protected override Expression VisitBinary(BinaryExpression node)
{
string op = null;
switch (node.NodeType)
{
case ExpressionType.Add:
op = "+";
break;
case ExpressionType.Subtract:
op = "-";
break;
case ExpressionType.Multiply:
op = "*";
break;
case ExpressionType.Divide:
op = "/";
break;
default:
throw new NotImplementedException();
}
var left = Visit(node.Left);
var right = Visit(node.Right);
string result = string.Format("({0} {1} {2})", op, ((ConstantExpression)left).Value, ((ConstantExpression)right).Value);
return Expression.Constant(result);
}
protected override Expression VisitConstant(ConstantExpression node)
{
if (node.Value is string)
return node;
return Expression.Constant(node.Value.ToString());
}
protected override Expression VisitParameter(ParameterExpression node)
{
return Expression.Constant(node.Name);
}
}
[TestMethod]
public void BasicSymbolicTest()
{
ParameterExpression x = Expression.Parameter(typeof(double), "x");
Expression linear = Expression.Add(Expression.Constant(3.0), x);
Assert.AreEqual("(+ 3 x)", Symbolic.ToString(linear));
Expression quadratic = Expression.Multiply(linear, Expression.Add(Expression.Constant(2.0), x));
Assert.AreEqual("(* (+ 3 x) (+ 2 x))", Symbolic.ToString(quadratic));
Expression expanded = Symbolic.Expand(quadratic);
Assert.AreEqual("(+ (+ (+ (* 3 2) (* 3 x)) (* x 2)) (* x x))", Symbolic.ToString(expanded));
Assert.AreEqual("(+ (+ (+ 6 (* 3 x)) (* x 2)) (* x x))", Symbolic.ToString(Symbolic.Simplify(expanded)));
Expression derivative = Symbolic.PartialDerivative(expanded, x);
Assert.AreEqual("(+ (+ (+ (+ (* 3 0) (* 0 2)) (+ (* 3 1) (* 0 x))) (+ (* x 0) (* 1 2))) (+ (* x 1) (* 1 x)))", Symbolic.ToString(derivative));
Expression simplified = Symbolic.Simplify(derivative);
Assert.AreEqual("(+ 5 (+ x x))", Symbolic.ToString(simplified));
}